Qual a altura do cone reto de base circular com raio da base igual a $\;\sqrt{3}\,$ cm e geratriz 5 cm ?

resposta:

Considerações:

Geratriz do cone é qualquer segmento lateral do cone que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra extremidade no perímetro da base do cone.

cone de geratriz 5cm e altura raiz de 3 cm

Resolução:

$\,\left.\begin{array}{rcr} \mbox{geratriz }\phantom{XX}\rightarrow\, & \;\mbox{ g = 5 cm }\; \\ \,\mbox{raio da base}\;\, \rightarrow\, & R\,=\,\sqrt{3}\\ \mbox{T. Pitágoras}\, \rightarrow\, & g^2\,=\,H^2\,+\,R^2\; \\ \end{array} \right\}\;\Rightarrow\;$

$\;\Rightarrow\;5^2\,=\,H^2\,+\,(\sqrt{3})^2\;\Leftrightarrow\;H\,=\,\sqrt{22} \mbox{ cm}$

a altura do cone reto é $\,H\,=\,\sqrt{22}\,$ cm
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A geratriz de um cone circular reto mede 10 cm e a altura 8 cm . Determine o raio da base.

resposta:

cone indicados geratriz, altura e raio da base

Geratriz do cone é qualquer segmento de reta lateral com uma extremidade no vértice do cone e outra extremidade no perímetro da base do cone.

Como o cone é circular reto, a figura hachurada é um triângulo retângulo onde os catetos são, respectivamente, a altura do cone (8 cm) e o raio da base do cone (r).
A hipotenusa é a geratriz do cone.
$\,G^2\;=\;h^2\;+\;r^2\;\Rightarrow\;$ $\,10^2\,=\,8^2\,+\,r^2\;\Rightarrow\;$ $\,r^2\,=\,100\,-\,64\;\Rightarrow\;$ $r\;=\;6\,cm$

O raio da base mede 6 cm
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A altura de um cone circular reto é h . A geratriz está inclinada em relação ao plano da base de um ângulo de 60°. Determine o raio da base.

resposta:

cone com geratriz formando 60 graus com o plano da base

Observe na figura que (sendo um cone circular reto) a geratriz é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são a altura e o raio da base.

Considerando-se que a tangente de 60° é igual a $\,\sqrt{\,3\;}\,$ temos:

$\,\operatorname{tg}60^o\,=\,\dfrac{{\text cateto}\;{\text oposto}}{{\text cateto}\;{\text adjacente}}\,=\,\dfrac{\,h\,}{\,r\,}\,\Rightarrow$

$\,\dfrac{\;h\;}{\;r\;}\,=\,\sqrt{\,3\;}\;\Rightarrow\;r\,=\,\dfrac{\;h\;}{\;\sqrt{\,3\;}\;}\,=$ $\,\dfrac{h\sqrt{3}}{3}\,$

O raio da base mede $\,r\,=\,\dfrac{h\sqrt{3}}{3}\,$
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Sabendo que a área da base de um cone circular reto mede $\;16\pi\,cm^2\;$ e sua geratriz $\;5\,cm\;$, determine a altura do cone.

resposta:

cone circular reto com área da base 16 pi cm²

Sendo o cone circular, sua base é um círculo.
Podemos calcular o raio da base:
$\,\require{cancel} S_{\text base}\,=\,\pi\,r^2\,=\,16\,\pi\;\Rightarrow$ $\,r^2\,=\,\dfrac{\,16\,\cancel{\pi}\,}{\cancel{\pi}}\,$
$\,\boxed{\;r = 4\;}\,$
Considerando-se o triângulo retângulo de catetos h e r com hipotenusa 5 cm, temos:
(geratriz)² = (raio)² + (altura)²
$\,4^2\,+\,h^2\,=\,5^2\,\;\Rightarrow$ $\,h^2\,=\,25\,-\,16\;\Rightarrow$ $\,h\,=\,3\,$cm

A altura mede 3 cm
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O raio da base de um cone circular reto mede 4 cm . Sabendo que a área da secção meridiana é igual a 24 cm² , determine a geratriz do cone.

resposta: $\,g\,=\,2\sqrt{13}\,cm\,$
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A altura de um cone circular reto mede 8 cm e sua geratriz 10 cm . Determine a área total do cone.

resposta: $\,A_{\large total}\,=\,96\pi\,cm^2\;$
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(MAUÁ) Um cone circular reto de altura h = 3 tem área lateral igual a $\;6\,\pi\;$m³. Determinar o ângulo que a geratriz g faz com a reta suporte da altura h .

resposta: 30°
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